Centro de masas y momento de inercia

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17/04/2023
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INDICE:

1 Centro de masa ¿Qué es?

2 Momentos de inercia ¿Qué es?

2.1 Propiedades de la inecia

2.2 Producto de inercia

2.3 Ejercicios propuestos

2.4 Solución:

En este post hablaremos sobre el concepto de centro de masa y momento de inercia. Para ello utilizo algunas ilustraciones del material didáctico que amablemente me facilitó la editorial McGraw-Hill.

El centro de masa y el momento de inercia son propiedades geométricas que no dependen de ningún otro parámetro y tienen gran importancia en el diseño de determinadas estructuras o componentes. Ambos están relacionados en el sentido de que en muchos casos para calcular la inercia (especialmente para figuras formadas por varios rectángulos) es necesario conocer el centro de masa para poder aplicar el teorema de Steiner. A continuación, consideramos ambos conceptos por separado.

Centro de masa ¿Qué es?

Podemos decir que el centro de masa es el punto donde se concentra la masa de un sistema de puntos sólido o material. Por ejemplo, si tenemos una esfera, podemos aproximar su comportamiento al de un punto ubicado en su centro y que tiene una masa igual a su densidad multiplicada por su volumen.

El foco tiene infinitos usos. Por ejemplo, las leyes de Newton sólo se pueden aplicar a sistemas de puntos materiales. En términos prácticos, en el diseño de automóviles es importante que el centro de gravedad esté en una posición relativamente baja para mayor estabilidad. Mientras que en un coche normal el centro de gravedad ronda los 1100 mm, en un tipo Ferrari es mucho más bajo para conseguir un mejor agarre al terreno.

Para calcular el centro de masa, simplemente multiplica la masa de cada punto o elemento por su distancia al eje y luego divide por el área total para obtener unidades de longitud. Utilizando esta expresión podemos determinar, por ejemplo, que el centro de gravedad de un sistema de dos puntos está en la recta que los une, el de un anillo está en su centro, en un rectángulo en la intersección de las diagonales, etc. A continuación, presento una tabla con algunos puntos de enfoque importantes:

Momentos de inercia ¿Qué es?

Inercia es una palabra que utilizamos con demasiada frecuencia, por eso según la RAE, inercia:

Mec. Propiedad de los cuerpos de cambiar su estado de reposo o movimiento sólo mediante la acción de una fuerza.

Por ejemplo, cuando empujamos algo que se mueve linealmente solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo cierto, ya que la inercia es estrictamente la resistencia a los cambios en la rotación de un objeto.
La inercia se puede calcular como el producto de la masa por la distancia al cuadrado o, en el caso de densidad constante y geometría continua, de la siguiente manera:

Ahora veamos como calcularlo para un triángulo:

La inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. Por ejemplo, en la resistencia de materiales, es un parámetro fundamental porque es necesario calcular los esfuerzos en una pieza debido a la aplicación de momentos a la estructura. Debido a que es inversamente proporcional a la tensión que experimenta la pieza, es mejor diseñar estructuras con alta inercia, minimizando así la tensión.

Por lo anterior, podemos deducir perfiles “extraños” de algunos bloques. Por ejemplo, la razón para usar una viga con una sección transversal de doble T es que debido a que la inercia es proporcional a la distancia, generalmente es mejor colocar el material en una posición a una distancia mayor del borde, es decir, lo más lejos posible del borde. como sea posible. Centro de gravedad.

Propiedades de la inecia

Esta es una propiedad adicional.

Al calcular la inercia de un objeto, es importante elegir el eje adecuado. Por ejemplo, en un cubo, no es lo mismo calcularlo respecto a sus diagonales que calcular los demás ejes.

Cálculo de la inercia respecto de un eje paralelo al eje que pasa por el centro de gravedad de la imagen: realizado mediante el teorema de Steiner:
Cálculo de momentos de inercia principales: una vez calculada la inercia respecto del eje que pasa por el centro de gravedad de la imagen, se pueden encontrar las direcciones principales mediante el círculo de Mohr:

Producto de inercia

El producto de la inercia es una medida de la inercia rotacional de un objeto. Se calcula en base al producto de la masa y la distancia a cada eje. A continuación, se muestra un esquema del producto de inercia, que explica por qué es igual a cero en la mayoría de los casos:

Finalmente adjunto una tabla de momentos de inercia de algunas geometrías comunes:

Ejercicios propuestos

Entonces, ahora que comprendes mejor el concepto de inercia, ¿puedes resolver las siguientes preguntas con soluciones? Para ello, basta con descomponer la figura en varios rectángulos, cuyos momentos de inercia conocemos, luego aplicar el teorema de Steiner y sumar todas las aportaciones. Fácil, ¿verdad?

Solución:

Para realizar el ejercicio, divinos la sección en tres rectángulos, uno de 160 x 20 y dos de 60 x 20. Una vez hecho esto, y dado que se conoce la expresión del momento de inercia de un rectángulo con respecto a los ejes que pasan por su centro de gravedad:

podemos calcular estos primero y aplicar posteriormente el teorema de Steiner:

para obtener así la inercia con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de la geometría completa. Por otra parte, el producto de inercia se calcula de acuerdo a la siguiente expresión: