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Grado de indeterminación estática – Clasificación de las estructuras

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Las estructuras se pueden clasificar estáticamente según su grado de incertidumbre estática. En este articulo clasificaremos cada tipo y explicaremos la funcione en la estructura.

Empecemos por lo más básico de lo que sabemos sobre estructuras y estática: “Toda estructura debe cumplir con las condiciones que surgen de los tres componentes que intervienen en su cálculo (estática, cinemática y leyes de comportamiento)”, las mismas que se traducen en ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y ecuaciones constitutivas.

Ahora bien, el cálculo de una estructura pasa por determinar las variables estáticas que posee: Reacciones, esfuerzos y cargas; Es por ello que antes de realizar cualquier cálculo de una estructura debemos determinar su cantidad o grado de incertidumbre estática para seleccionar el método más adecuado para su resolución estática en función de su clasificación.

Grado de incertidumbre estática

El grado de Incertidumbre Estática (DED) o el grado de Hiperestaticidad es el número de fuerzas excesivas de una estructura, es decir, el número de incógnitas independientes que no pueden determinarse mediante las ecuaciones de equilibrio de la estructura si el número de incógnitas estáticas excede el número total de ecuaciones de equilibrio disponibles.

El número de fuerzas excedentes no cambia para la misma estructura, aunque su elección entre todas las fuerzas desconocidas será diferente.

Para empezar, llamaremos a estas variables de la siguiente forma:

  • B = número de barras
  • N = número de nudos
  • ΣDtb = número de desconexiones totales en extremos de barra
  • ΣR = número de reacciones

El número total de incógnitas estáticas se obtiene sumando las incógnitas externas (reacciones) y las internas (esfuerzos de extremo barra). Considerando que la barra perteneciente a la estructura de plata tiene 2 extremos (i, j) y 3 fuerzas en cada uno de ellos (axial, cortante y de flexión: Fxi, Fyi, Mi, Fxj, Fyj, Mj), entonces el número total de fuerzas estáticas las incógnitas serán:

Número total de incógnitas estáticas: 6B + ΣR

El número de ecuaciones de equilibrio se obtiene sumando las ecuaciones de equilibrio de los nudos y las barras, cada una de las cuales es 3 para estructuras planas. Para esto se debe agregar una ecuación para cada desconexión completa en el extremo de la barra, porque proporciona una condición de tensión cero en la dirección de la desconexión.

Número total de ecuaciones en equilibrio: 3N + 3B + ΣDtb

GIE se obtiene restando el número de ecuaciones de equilibrio del número total de incógnitas estáticas, concretamente mediante la expresión:

GIE = (6B + ΣR) – (3N + 3B + ΣDtb) = (3B + ΣR) – (3N + ΣDtb)

La aplicación de esta expresión implica el modelado previo de la estructura, separando los puntos y varillas y estableciendo sus condiciones de enlace en cada extremo, así como identificar los tipos de apoyo y reacciones asociadas.

Se puede utilizar una variante de esta expresión que no requiere modelado si diferenciamos entre el nudo libre (NL) y el apoyo (A) y añadimos desconexiones totales en los apoyos (Dta), entonces:

3N = 3NL + 3A y ΣR= 3A – ΣDta

Sustituyendo el EDD en la expresión se obtiene esta nueva expresión, que no requiere modelado previo:

GIE = (3B + ΣR) – (3N + ΣDtb) = (3B + 3A + ΣDta) – (3NL + 3A + ΣDtb)

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta)

En instantes, un ejemplo:

1 Grado de Indeterminacion Estatica
Ejemplo de estructura plana

B = 3 (barras 1, 2 y 3)

NL = 2 (Nudos B y C)

A = 2 (Apoyos A y D)

ΣDtb = 0 (No hay desconexiones entre barras, los nudos B y C son rígidos)

ΣDta = 3 (Giro en A, movimiento horizontal y giro en D)

 Por tanto: GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 9 – (6 + 0 + 3) => GIE = 0 

 

Ahora calcularemos el GIE de la misma estructura a partir del modelado que se muestra en la siguiente figura, donde se ha conectado la rótula con el extremo i de la barra 1 y el carrito con el extremo j de la barra 2:

2 Grado de Indeterminacion Estatica
Ejemplo de modelización de la estructura plana

Según este planteamiento:

B = 3 (barras 1, 2 y 3)

N = 2 (Nudos B y C)

A = 4 (2 nudos libres, B y C, y 2 apoyos A y D))

ΣDtb = 2

ΣR = 5 (tres en A y 2 en D)

 Por tanto: GIE = (3B + ΣR) – (3N + ΣDtb) = (9 + 5) – (12 + 2) => GIE = 0 

 

Las estructuras de clasifican en:

Las estructuras se clasifican estáticamente según su GIE en:

  • Estructuras Isostáticas: GIE = 0
  • Estructuras Hiperestáticas: GIE > 0
  • Estructuras hipostáticas: GIE < 0

Estructuras isostáticas

Una estructura es isostática si GIE = ​​0. En este caso, el número de ecuaciones de equilibrio corresponde al número de incógnitas.

Una estructura isostática tiene una única configuración estática permitida y está estáticamente determinada. Se obtienen aplicando únicamente las ecuaciones de equilibrio.

Estructuras Isostaticas 1
Estructura Isostática

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 9 – (3 + 3 + 3) = 0

Estructuras Isostaticas 2
Pórtico Isostático

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 18 – (12 + 5 + 1) = 0

Estructuras Hiperestáticas

Se dice que una estructura es hiperestática si GIE > 0. En este caso, el número de ecuaciones de equilibrio es menor que el número de incógnitas estáticas.

Las estructuras hiperestáticas tienen configuraciones estáticas infinitamente admisibles. Por tanto, será estáticamente indeterminado.

Estructuras Hiperestaticas 1
Estructura hiperestática

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 15 – (9 + 2 + 2) = 2

Estructuras Hiperestaticas 2
Estructura hiperestática

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 9 – (6 + 0 + 2) = 1

 

Estructura Hipostática

Se dice que una estructura es hipostática si GIE < 0. En este caso, el número de ecuaciones de equilibrio es excesivo porque excede el número de incógnitas estáticas. Este es un mecanismo, es decir, una estructura inestable que no se puede equilibrar.

Estructuras Hipostaticas 1
Estructura Hipostática

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 9 – (3 + 3 + 4) = -1

 

“Pero el hecho de que el GIE sea igual o mayor que 0 no garantiza que la estructura sea estable, pudiendo tener una estabilidad local y, por tanto, será un mecanismo.

 

Estructuras Hipostaticas 2
Mecanismo

GIE = (3B) – (3NL + ΣDtb + ΣDta) = 15 – (9 + 2 + 4) = 0

El valor de GIE es 0, por lo que se podría suponer que la estructura es isostática, pero no es así. La estructura no se puede equilibrar horizontalmente. La barra 1 tiene una conexión de dos miembros y, sin cargas perpendiculares a su guía, tendrá cortante nulo, es decir, la reacción horizontal en el punto A es nula.

Como se permite el movimiento horizontal en el punto B, no hay reacción. La fuerza horizontal P2 no se puede equilibrar. Si reforzáramos la unión entre la barra 2 y la viga (4-5), dejando solo el soporte 1 articulado, obtendríamos un GIE de 1, pero la estructura aún no sería capaz de equilibrarse frente a fuerzas horizontales.

Luego se proponen estos dos ejemplos para definir los GIE y probar si son mecanismos o no. En ambos casos la GIE es 0, pero sólo la estructura de la izquierda es isostática y la estructura de la derecha es un mecanismo.

Estructuras Hipostaticas 3
Diferencias entre pórticos isostáticos

En este blog intentamos definir cuál es el grado de incertidumbre estática de una estructura y cómo obtener su valor, a continuación, se clasifican las estructuras en base a esto, considerando algunos ejemplos interactivos. Comparte esta información con tus colegas que les pueda servir.

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